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Illner Solutions
3. 4. 2 Heyting-Algebra H
In diesem Abschnitt kommt die Mathematik zur gerade epistemisch motivierten vierwertigen Aussagelogik AL4.
Die Verknüpfungen von AL2 wurden quasi abgesegnet, indem sie durch eine boolesche Algebra dargestellt wurden.
Aus
der intuitionistischen Logik (vgl. [3.3.1]) motiviert hat nun Arend Heyting
im 20. Jh. eine weitere Algebra definiert, die für Trägermenegn größer
zwei keine vollständigen Komplemente mehr bildet. Diese stellt sich
gerade als adäquat für die Verknüpfungen von AL4 heraus.
3. 4. 2. 1 Definition
3. 4. 2. 2 Dreiwertige Heyting-Algebra
3. 4. 2. 3 Vierwertige Heyting-Algebra
3. 4. 2. 4 Schaltungen
3. 4. 2. 1 Definition
Die Heyting-Algebra ...
Charakterisierung durch Regeln
...
Algebraische Defintion
Die Algebra
konstruiert aus Mengen Strukturen, indem sie diese mit inneren
Verknüpfungen versieht, also z.B. mit Rechenoperationen bei
Zahlenmengen.
Eine Heyting-Algebra ist nun wie eine boolesche Algebra
(siehe [3.2.2]) ein distributiver / beschränkter Verband, das bedeutet,
es gibt zwei Verknüpfungen, die ein Minimum und ein Maximum haben und
man kann mit den Verknüpfungen Klammern ausmultiplizieren.
Genauer ist eine Heyting-Algebra (H, and, or) ein pseudokomplementärer distributiver Verband. Statt Komplemente haben die Elemente hier nur noch Pseudokomplemente.
1. (H, and, or) ist ein Verband:
1. 1. (H, and) ist eine kommutative Halbgruppe: AND ist eine innere Verknüpfung und die Reihenfolge ist egal (wie beim "+").
1. 2. (H, or) ist eine kommutative Halbgruppe: OR ist eine innere Verknüpfung und die Reihenfolge ist egal.
1. 3. 2 x Idempotenz-Gesetze (mit sich selbst, bleibt). => 2 x Absorptions-Gesetze.
2 x Absorptionsgesetze -> 2 x Idempotenz
=> H ist dann auch eine Ordnungsstruktur: es gibt ein und ...
Jeder endliche, nichtleere Verband V ist vollständig, also auch beschränkt.
kompakte Elemente ? - algebraischer Verband ?
2. (H, and, or) ist distributiv / beschränkt ?
3. (H, and, or) ist pseudokomplementär:
Alle a aus H haben zwar kein Komplement, aber zu allen b ein relatives
Pseudokomplement. Aus den relativen Pseudokomplementen folgt bereits
die Distributivität.
Daraus lässt sich das Pseudokomplement
definieren, quasi ein halbes Komplement. Es bildet bloß noch mit AND
auf 0 ab, auf das Minimum / Infimum von H. Mit OR auf 1 ist dann nicht
mehr immer gegeben.
Eine vollständige Heyting-Algebra hat zusätzlich einen vollständigen Verband.
4. (H, and, or) ist vollständig:
3. 4. 2. 2 Dreielementige Heyting-Algebra
Heyting-Algebra
... wenn es nur zwei Elemente sind, dann sind diese regulär und es
bleibt der Spezialfall der zweielementigen booleschen Algebra.
Man
braucht also noch mindestens einen dritten Wert, um den Unterschied zu
erkennen. Wenn dieser kein Komplement hat (mit dem er auf 0 und 1
kommt), sondern nur ein Pseudokomplement (mit und auf die 0 kommen),
dann sind wir richtig.
Trägermenge H3 = { 0, X, 1 }
Pseudokomplemente:
0 and 1 = 0
X and 0 = 0
1 and 0 = 0
->
hieraus entsteht die schwache (zweiwertige) Negation von H3: etwas wird nur zu
falsch, wenn es komplett wahr ist, sonst wird es zu wahr.
3. 4. 2. 3 Vierelementige Heyting-Algebra
Heyting-Algebra
Trägermenge H4 = { 0, X, U, 1 }
Pseudokomplemente:
0 and 1 = 0
X and 0 = 0
U and 0 = 0
1 and 0 = 0
->
hieraus entsteht die schwache (zweiwertige) Negation: etwas wird
nur zu falsch, wenn es komplett wahr ist, sonst wird es zu wahr. (oder
gerade umgekehrt ?)
D.h. unsere syntaktische und semantische
Negation sind nicht Teil der vierelementigen Heyting-Algebra. Nur und /
oder ist abgebildet und erledigt.
Im Gegensatz zu diesem gilt bei beiden: not not A = A.
Wie sieht es bei [Belnap1975] aus ? JA, auch.
scheint auch ein Verband zu sein, und distributiv.
Pseudokomplemente, so dass man die 0 / f erreichen kann ?
Er benutzt übrigens mein semantisches not-2 ! (WP war bis Juli 2015 falsch !)
ja, ergeben das syntaktische Not-1, das Belnap evtl. nicht benutzt !
--> aber ok, er ist auch Heyting, passt.
...