Der Intuitionismus[WP] ist eine Strömung in der Philosophie der Mathematik. Er wurde ab 1912 von Luitzen Brouwer[WP] (1881 – 1966) begründet und ist eine Variante des Konstruktivismus[WP] (da geht es eher um das Thema Existenz und beim Intuitionismus um das Thema Wahrheit). Der Intuitionismus ist der philosophische Hintergrund zur Intuitionistischen Logik.

Die Mathematik wurde als Prototyp des exakten Denkens betrachtet und untersucht. Zentral ist die Interpretation von Wahrheit. Mathematische Wahrheit sei die Konstruierbarkeit von mathematischen Aussagen bzw. die Möglichkeit, einen Beweis zu formulieren. Das ist Wahrheit durch Verifizierung.

Wahre Sätze und Objekte existieren nach dem Intuitionismus nicht unabhängig von Denkprozessen, im Gegensatz zur Position des Platonismus in der Philosophie der Mathematik.

Brouwer kritisierte ab 1912 das dritte aristotelische Axiom vom ausgeschlossenen Dritten (vgl. [3.2.1.1]). Danach haben sich viele bekannte Großmeister mit dem Intuitionismus in der Logik beschäftigt.
Arend Heyting[WP] (1898 – 1980) gab 1930 eine vollständige Formalisierung intuitionistischer Aussagen- und Prädikatenlogik an (siehe auch [... Heyting-Algebra] ).
Kurt Gödel[WP] (1906 – 1978) zeigte 1933 wie klassische Logik in intuitionistische Logik übersetzt werden kann.
Saul Kripke[WP] formalisierte die Semantik der intuitionistischen Logik. Stephen Kleene und Paul Lorenzen waren auch dabei.

http://homepage.univie.ac.at/guenther.eder/Intuitionistische%20Logik.pdf

Wahrheit ist in der intuitionistischen Logik Beweisbarkeit. A oder B  meint, es gibt einen Beweis für A oder einen Beweis für B.
A oder nicht-A  meint dann, A ist beweisbar oder A ist widerlegbar. Wegen der Unvollständigkeit ... (nach Gödel ?!) sind nicht alle mathematischen Probleme entscheidbar. Es ist also  A oder nicht-A  hier nicht allgemeingültig. (Kam das dann nach Gödel ?!)

Im Kalkül der intuitionistischen Logik streicht man dazu(?) die Regel  nicht-nicht-A = A
... andere Formeln ...

A → B  bedeutet hier, dass sich ein Beweis von A zu einem Beweis von B ergänzen lässt. Man kann also weiter folgern. Hier gibt es keine Wahrheitstabellen. Diese Implikation ist nicht wahrheitsfunktional, man kann mit ihr nicht so gut rechnen. (→ Kripke-Semantik ?)

Es gilt hier bei der Implikation nur noch abgeschwächt in eine Richtung (also keine Äquivalenz mehr):
¬ A oder B   =>   A  →  B
A  →  B       =>   ¬ ( A und ¬ B )
A  →  B       =>   ¬ B  →  ¬ A

oder doch ?    T    F
            T        T    F
            F        T    T

Klassische Logik wird durch intuitionistische Logik nicht als Ganzes angegriffen, aber ihre Anwendbarkeit auf mathematische Systeme und wiederum deren Anwendung in anderen Wissenschaften.
Wahrheitsfunktionen seien nicht angemessen, weil es um Beweisbarkeit geht. Es gibt mathematische Sätze, die bisher weder bewiesen noch wiederlegt werden konnten.

(Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt auch nicht in der Güntherlogik[WP].)