In allen Varianten der dreiwertigen Logik wird die Menge der zwei klassischen logischen Werte für ideales Wissen um einen weiteren Wert ergänzt, der aber auf unterschiedliche Weise interpretiert wird.

Jan Łukasiewicz[WP] (1878 – 1956, Lehrer von Alfred Tarski) hat 1920 seine dreiwertige Logik Ł3 vorgelegt, den ersten mehrwertigen und damit nichtklassischen logischen Kalkül.
Der dritte Wert kommt aus einem epistemischen Standpunkt: "weder noch", "möglich", ...
Diese Logik soll den intuitionistischen Standpunkt abbilden, als Alternative zur intuitionistischen? zweiwertigen Logik.
"In seinen mehrwertigen Logiken verwendete er Wahrheitswertfunktionen, die heute als Łukasiewicz-Tarski-Negation und Łukasiewicz-Tarski-Implikation bezeichnet werden."

Boleslaw Sobocinski[WP] (–) hat ...

Stephen Kleene[WP] (1909 – 1994, Schüler von Alonzo Church) hat 1938 seine dreiwertige Logik K3 vorgelegt.
Der dritte Wert kommt aus einem rationalen(?)/objektiven Standpunkt: "...", "...", ...

Dimitrij Bocvar[WP] () hat 1938 seine dreiwertige Logik B3 vorgelegt. - "paradox, bedeutungslos"

Da der dritte logische Wert irgendwie zwischen T und F liegt, kann man von einem Maximum der Wahrheitswerte sprechen, T ist am wahrsten. Ebenso kann man von einem Minimum sprechen, das wäre dann F.

Anscheinend sind die Standard-Junktoren nicht, und, oder in allen obigen Varianten der dreiwertigen Logik einheitlich definiert. Für die Negation gibt es dabei aber zwei Varianten, das starke Nicht und das schwache Nicht.

Das starke Nicht  ¬  liefert den umgekehrten Wahrheitswert:

Damit mehr ableitbar bleibt, nähert man sich an die zweiwertige Logik an. Dazu gibt es zusätzlich ein schwaches Nicht  ~ :

Das schwache Nicht ist quasi gnädiger und es liefert nur die zwei klassischen Werte.

Konjunktion (UND) und Adjunktion (ODER) sind ebenfalls in allen obigen Varianten der dreiwertigen Logik einheitlich definiert.

Die Konjunktion UND soll richtung Minimum bzw. Infimum (s.o.) gehen, es wird als Ergebnis deshalb jeweils einfach das Minimum genommen.

Die Adjunktion ODER bzw. die nicht-ausschließende Disjunktion soll richtung Maximum bzw. Supremum (s.o.) gehen, es wird als Ergebnis deshalb jeweils das Maximum genommen.

In AL₂ ist wichtig, dass die Tautologie A oder ¬A gilt. Das Bivalenzprinzip.
Mit dem starken Nicht von oben: Ist in AL₃  A oder ¬A  noch Tautologie ? Nein, denn wegen U kommt nicht immer W heraus.
Mit dem schwachen Nicht von oben: Ist in AL₃  A oder ~A  noch Tautologie ? Ja, denn ein W ist immer dabei. Aber nicht weiter wichtig.

Ein Vorteil von AL₂ sind ihre komfortablen Rechengesetze. Es gelten ähnliche Gesetze wie bei Zahlen. Wie sieht es bei AL₃ aus ?

Idempotenz / Absorption ?

Die Distributivgesetze mit AND und ODER gelten. (Ausmultiplizieren I) - Beweis durch Wahrheitstafeln.

Die De Morgan'schen Regeln mit UND, ODER und beiden NOTs gelten ?. (Ausmultiplizieren II) – Beweis durch Wahrheitstafeln.

Anscheinend sind die Junktoren prinzipiell nicht funktional vollständig ! Vermutlich einfach, weil ... man irgendwie nicht mehr auf das U kommt ?
(Das Fehlen von gewohnten Tautologien oder funktionale Vollständigkeit scheint also kein Grund, eine formale Logik abzulehnen.)

Hier beginnen nun die Unterschiede. Durch die Wahl des Implikations-Junktors trifft man die Entscheidung, welche Formeln mit Implikation gelten und welche nicht.

Jan Łukasiewicz hat 1920 die dreiwertige Logik Lu₃ (Ł₃) vorgestellt. Sie war von der intuitionistischen Logik beeinflusst. Sein dritter Wert ist epistemisch motiviert: es findet sich kein Beweis dafür oder dagegen.
Dies ist der gewählte Implikations-Junktor in Lu₃:

Das nur linksneutrale Element von →_Lu ist W. Wenn behauptet wird, dass aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt, so ist das wie in AL₂ immer noch falsch. Wenn behauptet wird, dass aus etwas Wahrem etwas Ungewisses folgt, dann ist das ungewiss, ob es so ist.
W ist außerdem das rechtsdominante Element.

Hier ist: U → U  =  W. Ist das aber plausibel ? Eher nicht.

Wegen diesem einen strittigen Fall sind hier Tautologien möglich. Das sind Sätze, die aufgrund ihrer Form stets wahr sind. Das ist gut für ...
Dafür kann man diese Implikation nicht mit dem ODER darstellen.

Stephen Kleene hat 1938 die dreiwertige Logik Kl₃ vorgestellt. ... Sein dritter Wert ist ... motiviert: ...
Dies ist der gewählte Implikations-Junktor in Kl₃ (und in LP von Graham Priest):

Das nur linksneutrale Element von →_Kl ist W. Wenn behauptet wird, dass aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt, so ist das wie in AL₂ immer noch falsch. Wenn behauptet wird, dass aus etwas Wahrem etwas Ungewisses folgt, dann ist das ungewiss, ob es so ist.
W ist außerdem das rechtsdominante Element.

(2006: Der Ausdruck ist wahr, wenn Prämisse und Konklusion wahr sind und außerdem immer, wenn die Prämisse falsch ist. Die zusätzlichen Fälle, mit der Prämisse „bottom“ sollen dem Gedanken aus der zweiwertigen Logik folgen, daß eine wahre Konklusion aus allem folgen darf (^ ® w = w) und daß, ob etwas falsches folgen darf, von der Prämisse abhängt (^ ® f = ^).
Weiterhin ist es sinnvoll zu sagen, daß man nichts sagen kann, ob aus etwas Unklarem etwas Unklares folgen darf (^ ® ^ = ^). Der letzte Fall, Prämisse wahr, Konklusion bottom, folgt ebenso dem Gedanken, daß es von der Konklusion abhängt, ob man diese aus etwas Wahrem ableiten darf (w ® ^ = ^).)

Der Unterschied zu Lu₃ ist nur: U → U  =  U. Eine Folgerung ist ungewiss, wenn behauptet wird, dass aus etwas Ungewissem wieder etwas Ungewisses folgt. Weshalb sollte eine solche Behauptung wahr oder falsch sein ? Wir wissen es halt noch nicht.
Das macht für Wissensbasen mehr Sinn als oben bei Lu₃.

Wegen diesem einen strittigen Fall sind hier aber keinerlei Tautologien möglich. Das ist schlecht für ...
Dafür ist diese Implikation symmetrisch zum ODER, sie kann mit dem (normalen) starken NICHT definiert werden. Wie in AL₂.

A  →_Kl  B   =   ¬ A  oder  B