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3. 2. 3  Klassische Prädikatenlogik  PL2


Die klassische zweiwertige Prädikatenlogik hat sich im 20. Jh. als die formale Logik durchgesetzt. Während in der Aussagenlogik eine Aussage atomar ist, wird hier zwischen Prädikaten und Gegenständen unterschieden, dazu gibt es Variablen, Quantoren und Funktionen.

Die klassische Prädikatenlogik wurde von Gottlob Frege und Charles Pierce um 1900 entwickelt. Motivation war das Beweisen von Grundlagen der Mathematik.


PL2  =  ( { W, F }, { ¬, und, oder, → } )

Es gibt genügend öffentliche Lehrbücher über den Aufbau und die Gesetze der klassischen Prädikatenlogik.




3. 2. 3. 1  Aussagen mit Struktur

3. 2. 3. 2  Logische Grund-Junktoren von PL2

3. 2. 3. 3  Implikations-Junktor






3. 2. 3. 1  Aussagen mit Struktur

Während in der Aussagenlogik eine Aussage atomar ist, wird bei der Prädikatenlogik zwischen Prädikaten und Gegenständen unterschieden, dazu gibt es Variablen, Quantoren und Funktionen.

Die einfachste Aussageform in der Prädikatenlogik ist P ( a ).
Motiviert von sprachlichen Sätzen wie "Sokrates ist Grieche."

Prädikate können mehrstellig sein: P ( a, b ) - Bsp.: "<a> ist Hauptstadt von <b>".

Durch die zwei Quantoren A, E mit Variablen für die Gegenstände erhält man
A x P ( x ) – Alle x sind P.
E x P ( x ) – Es gibt ein x, das P ist. Mindestens eins.

Funktionen gibt es auch noch, um von einem Gegenstand auf einen anderen zu kommen.
f ( a )= b



3. 2. 3. 2  Logische Grund-Junktoren von PL2

Die logischen Grund-Junktoren von PL2 sind die gleichen wie bei AL2.

Die Negation

Die Negation NICHT / NOT / ¬ drückt das Gegenteil aus. Dies kann man in Tabellenform notieren, links stehen die Ausgangswerte, rechts die Ergbniswerte nach Anwendung des Junktors, des Operators bzw. der Funktion.

NICHT / ¬
WF
FW

Die Negation kann auf Elementarsätze und auf Sätze mit Quantoren angewendet werden:

¬ P ( a )
¬ A x P ( x ) – Nicht alle x sind P.
¬ E x P ( x ) – Kein x ist P.
A x ¬ P ( x ) – Alle x sind nicht P.
E x ¬ P ( x ) – Manche x sind nicht P.

Es gilt:

¬ A x P ( x ) == E x ¬ P ( x )
¬ E x P ( x ) == A x ¬ P ( x )

Die Konjunktion

Die Konjunktion UND / AND ist nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. A und B gilt, wenn A gilt und B gilt.

UNDWF
WWF
FFF

...
A x : P ( x ) und Q ( x ) == A x P ( x ) und A x Q ( x )

Die Adjunktion

Die Adjunktion ODER / OR ist nur dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. A oder B gilt, sobald A gilt oder B gilt.

ODERWF
WWW
FWF

...
A x P ( x ) oder Q ( x ) == A x P ( x ) oder A x Q ( x )



3. 2. 3. 3  Implikations-Junktor

Auch der Implikations-Junktor von PL2 hat die gleiche Wahrheitstabelle wie in AL2.

Diese Terme lassen sich mit den gleichen logischen Junktoren wie in der Aussagelogik (vgl. [3.2.1]) verbinden. Daraus entstehen Satzformen? wie

A x : P ( x ) -> Q ( x ) – Alle x, die Raben sind, sind auch Vögel. Hinreichend. Oberbegriff. Gattung.

Es gibt vier grundlegende Aussageformen?:

Typ a: A x : P ( x ) -> Q ( x ) – Alle P sind Q.
Typ e: A x : P ( x ) -> nicht Q ( x ) – Alle P sind nicht Q. Kein P ist Q.
Typ i : E x : P ( x ) -> Q ( x ) – Einige P sind Q.
Typ o: E x : P ( x ) -> nicht Q ( x ) – Einige P sind nicht Q. Nicht alle P sind Q.




Erstmals kreiert am – Sonntag, 04. Februar 2018
Letzrmals geändert am – Donnerstag, 09. Januar 2020
Autor: Korgüll


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