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3. 2. 3 Klassische
Prädikatenlogik PL2
Die
klassische zweiwertige Prädikatenlogik hat sich im 20. Jh. als die
formale Logik durchgesetzt. Während in der Aussagenlogik
eine Aussage atomar ist, wird hier zwischen Prädikaten und Gegenständen
unterschieden, dazu gibt es Variablen, Quantoren und Funktionen.
Die
klassische Prädikatenlogik wurde von Gottlob Frege und Charles Pierce
um 1900 entwickelt. Motivation war das Beweisen von Grundlagen der
Mathematik.
PL2
= ( { W, F }, { ¬, und, oder, → } )
Es gibt genügend
öffentliche Lehrbücher über den Aufbau und die Gesetze
der klassischen Prädikatenlogik.
3.
2. 3. 1 Aussagen mit Struktur
Während
in der Aussagenlogik eine Aussage atomar ist, wird bei der Prädikatenlogik zwischen
Prädikaten und Gegenständen unterschieden, dazu gibt es Variablen,
Quantoren und Funktionen.
Die einfachste Aussageform in der Prädikatenlogik ist P ( a ).
Motiviert von sprachlichen Sätzen wie "Sokrates ist Grieche."
Prädikate können mehrstellig sein: P ( a, b ) - Bsp.: "<a> ist Hauptstadt von <b>".
Durch die zwei
Quantoren A, E mit Variablen für die Gegenstände erhält man
A x P ( x ) – Alle x sind P.
E x P ( x ) – Es gibt ein x, das P ist. Mindestens eins.
Funktionen gibt es auch noch, um von einem Gegenstand auf einen anderen zu kommen.
f ( a )= b –
3.
2. 3. 2 Logische Grund-Junktoren von PL2
Die logischen
Grund-Junktoren von PL
2 sind die gleichen wie bei AL
2.
Die Negation
Die Negation NICHT / NOT / ¬
drückt das Gegenteil aus. Dies kann man in Tabellenform notieren, links
stehen die Ausgangswerte, rechts die Ergbniswerte nach Anwendung des
Junktors, des Operators bzw. der Funktion.
Die Negation kann auf Elementarsätze und auf Sätze mit Quantoren angewendet werden:
¬ P ( a ) –
¬ A x P ( x ) – Nicht alle x sind P.
¬ E x P ( x ) – Kein x ist P.
A x ¬ P ( x ) – Alle x sind nicht P.
E x ¬ P ( x ) – Manche x sind nicht P.
Es gilt:
¬ A x P ( x ) == E x ¬ P ( x )
¬ E x P ( x ) == A x ¬ P ( x )
Die Konjunktion
Die Konjunktion UND / AND ist nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. A und B gilt, wenn A gilt und B gilt.
...
A x : P ( x ) und Q ( x ) == A x P ( x ) und A x Q ( x )
Die Adjunktion
Die
Adjunktion ODER / OR ist nur dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. A oder B gilt, sobald A gilt oder B gilt.
...
A x P ( x ) oder Q ( x ) == A x P ( x ) oder A x Q ( x )
3.
2. 3. 3 Implikations-Junktor
Auch der
Implikations-Junktor von PL
2 hat die gleiche Wahrheitstabelle wie in
AL
2.
Diese
Terme lassen sich mit den gleichen logischen Junktoren wie in der
Aussagelogik (vgl. [3.2.1]) verbinden. Daraus entstehen Satzformen? wie
A x : P ( x ) -> Q ( x ) – Alle x, die Raben sind, sind auch Vögel. Hinreichend. Oberbegriff. Gattung.
Es gibt vier grundlegende Aussageformen?:
Typ a: A x : P ( x ) -> Q ( x ) – Alle P sind Q.
Typ e: A x : P ( x ) -> nicht Q ( x ) – Alle P sind nicht Q. Kein P ist Q.
Typ i : E x : P ( x ) -> Q ( x ) – Einige P sind Q.
Typ o: E x : P ( x ) -> nicht Q ( x ) – Einige P sind nicht Q. Nicht alle P sind Q.
Erstmals kreiert am – Sonntag, 04. Februar 2018
Letzrmals geändert am – Donnerstag, 09. Januar 2020
Autor: Korgüll
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