Aristoteles[WP] (384 – 322 v.Chr., Athen und Makedonien) hat drei logische Axiome zusammengetragen, die die klassische zweiwertige Logik begründen. Er selber formalisierte dazu die Syllogistik, aus der sich erst viel später die nachfolgend beschriebene Aussagenlogik, aber auch die Prädikatenlogik, entwickelte.

• http://www.hcrs.at/DENKEN.HTM

Diese drei Sätze werden auch als Denkgesetze betrachtet und den Naturgesetzen gegenübergestellt. Daneben sind sie grundlegend für die Entwicklung auch der Naturwissenschaften.

Der Satz der Identität (lat.: principium identitatis) bzw. der Satz der Selbstidentität aller Dinge besagt lediglich, dass ein Ding nur mir sich selbst identisch ist. Alle anderen sind davon verschieden.

A ist identisch mit B bedeutet, dass es zwischen A und B keinen Unterschied gibt. Deshalb ist A nur mit sich selbst identisch.
Sind hier Gegenstände, die Aussagen oder ihre Wahrheitswerte gemeint ? Anscheinend alles drei ?
Leibnitz?: "A und B bezeichnen genau dann denselben Gegenstand, wenn sich A für B in allen Aussagen bei Erhaltung des Wahrheitswertes ersetzen lässt."

Der Satz vom Widerspruch (lat.: principium contradictionis) bzw. der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch besagt, dass zwei einander widersprechende Aussagen nicht zugleich zutreffen können.

Es kann nicht gleichzeitig eine Aussage A und ihr Gegenteil ¬ A wahr sein.
In der Notation der Aussagenlogik ist das  ¬ ( A = w  und  ¬ A = w )
und wird verkürzt zu  ¬ ( A und ¬ A )

Dieses Axiom bezieht sich auf Aussagen. Es gilt offenbar für Aussagen, denen man problemlos einen Wahrheitswert zusprechen kann. Es ist offenbar eine Voraussetzung für das Denken über die Welt, scheint also ein ontologisches Axiom zu sein.

"Jeder Versuch, es zu beweisen bzw. zu widerlegen, würde ihn immer schon voraussetzen, weil jede Aussage bzw. jedes Argument ja sich und nicht sein Gegenteil vermitteln soll. ... Die analytische Wahrheit gründet letztlich im Satz vom Widerspruch (Ernst Tugendhat).^[2]"

...

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (lat.: principium exclusi tertii bzw. tertium non datur) besagt, dass bei einer Aussage mindestens sie selbst oder ihr Gegenteil zutreffen muss.

Es muss entweder eine Aussage oder ihr Gegenteil wahr sein.
In der Notation der Aussagenlogik ist das  A = w  oder  ¬ A = w
und wird verkürzt zu  A oder ¬ A

Dieses Axiom bezieht sich auf Aussagen. Es gilt offenbar für Aussagen, denen man problemlos einen Wahrheitswert zusprechen kann. Es ist offenbar eine Voraussetzung für das Denken über die Welt, scheint also ein ontologisches Axiom zu sein.

Aber bereits Aristoteles selbst hat darauf hingewiesen, dass man Aussagen über die Zukunft keinen Wahrheitswert zuordnen kann, da der zugehörige Sachverhalt ja noch gar nicht eingetreten sein kann. Bsp.: "Deutschland wird wieder Weltmeister."
Außerdem gibt es reflexive Aussagen, denen man keinen Wahrheitswert eindeutig zuweisen kann. Bsp.: "Dieser Satz ist falsch." (eine Variante des Kreter-Paradoxons[WP])
Es gibt mathematische Aussagen über sinnvolle Begriffe, die aber logisch nicht entscheidbar sind ?? (Gödelsche Unvollständigkeit ?).
Dann gibt es noch sinnlose Aussagen, indem man Kategorienfehler begeht. Diesen kann man keinen Wahrheitswert eindeutig zuweisen. Echt nicht ?! Bsp.: Die Banane ist schnell. Die Geschwindigkeit ist gelb.

...

Aus dem Satz (II) vom ausgeschlossenen Widerspruch und dem Satz (III) vom ausgeschlossenen Dritten folgt das Prinzip der Zweiwertigkeit bzw. Bivalenzprinzip. Es besagt, dass jeder Aussage genau einer von zwei Wahrheitswerten zugeordnet wird.

Deshalb ist die klassische Logik zweiwertig. Das Folgende ist der Gedanke von gerade in quasi-aussagenlogischer Notation:

Aus den obigen Axiomen leiten wir uns die verschiedenen Konzepte der klassischen Logik und für ihre Junktoren ab. Dies wird kein formaler Aufbau von AL₂, den kann man nachlesen, es geht um die theoretischen Prinzipien, die in den nachfolgenden Logiken variiert werden, um andere Szenarien zu beschreiben.

Aus den drei Aristotelischen Axiomen von oben kann man bereits alle Konzepte der formalen klassischen Aussagenlogik ablesen. Mit obigem Bivalenzprinzip ¬ A = w <=> A = f kann man den Inhalt der Axiome auch so schreiben.



Konzepte aus Axiom (I):

• Symbole: Die zu behandelnden Aussagen bzw. Propositionen werden in formaler Logik durch Symbole (A₁, A₂, …) dargestellt bzw. bezeichnet. So kommt es auch zur Trennung von Objektsprache (den Symbolen, inklusive Junktoren, Klammern etc.) und Metasprache (wenn man über die Symbole schreibt oder redet).
• Logischer Wert: Durch das "=" wird ein logischer Wert (ein Wahrheitswert) eingeführt, der ein Identitäts-Kriterium erfüllt. In (I) ist A natürlich nicht das gleiche wie w, aber die Aussage A hat einen Wert, von dem behauptet wird, dass er z.B. w ist.

Konzepte aus Axiom (II):

• Wenn ... werden ...(?) Die beiden logischen Werte  w  und  f  werden hier explizit angegeben.
• Es werden weitere Aussagen eingeführt, derart, dass etwa  A = f  wieder eine Aussage mit einem logischen Wert ist.
• Junktoren: Es werden logische Junktoren eingeführt, die Werte auf Werte abbilden.
• Die Junktoren nicht und und bilden zunächst einen einzigen Junktor nand ("nicht beides"), der erst in einem zweiten Denkschritt in den einstelligen und den zweistelligen aufgeteilt wird.

Konzepte aus Axiom (III):

• Der Junktor oder bringt nichts wirklich Neues, da er ebenfalls durch den und- und den nicht-Junktor darstellbar ist (s.u.).

Junktoren[WB] in AL₂ sind logische Junktoren zwischen Aussagen. Aufgrund der Zweiwertigkeit gibt es vier einstellige Junktoren, von denen die Negation der wichtigste ist. Enemso gibt es sechzehn zweistellige Junktoren, von denen Konjunktion und Adjunktion die intuitiv grundlegenden sind.

Die Negation NICHT / NOT / ¬ drückt das Gegenteil aus. Dies kann man in Tabellenform notieren, links stehen die Ausgangswerte, rechts die Ergbniswerte nach Anwendung des Junktors, des Operators bzw. der Funktion.

Die Konjunktion UND / AND ist nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. A und B gilt, wenn A gilt und B gilt.

Das neutrale Element von UND ist W, d.h. die und-Verknüpfung mit W kann man sich auch schenken. Beim Rechnen kann ein solcher Term gestrichen werden. Das dominante Element von UND ist F, d.h. die Verknüpfung mit F bildet stets auf F ab.

Die Adjunktion ODER / OR ist nur dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. A oder B gilt, sobald A gilt oder B gilt.

Das neutrale Element von ODER ist F, d.h. die oder-Verknüpfung mit F kann man sich auch schenken. Beim Rechnen kann ein solcher Term gestrichen werden. Das dominante Element von ODER ist W, d.h. die Verknüpfung mit W bildet stets auf W ab.

Mit diesen drei Junktoren erhält man eine vollkommen symmetrische Struktur (vgl. [3.2.2 Boolesche Algebra]), was besonders in den De Morganschen Regeln zum Ausdruck kommt:

Eine Menge von Junktoren ist funktional vollständig, wenn alle anderen möglichen Junktoren aus ihnen dargestellt werden können. Das bedeutet, man kann mit ihnen "alles machen".
{ ¬, und } und { ¬, oder } sind beispielsweise jeweils funktional vollständig. Es gibt sogar zwei Junktoren, die alleine bereits funktional vollständig sind, NAND ("nicht beides") und das NOR ("weder noch"), was für digitale Schaltungen und Mikroprozessoren wichtig ist.

NAND genügt demnach bereits als einziger Junktor und alle anderen lassen sich auf ihn zurückführen:

Desweiteren sind innerhalb der Aussagenlogik die obigen Aristotelischen Axiome (II) und (III) wegen den De Morganschen Regeln äquivalent:

Die Implikation[WP]  A → B  wird in der Aussagenlogik als materiale Implikation bzw. Konditional bzw. Subjunktion[WP] realisiert. Sie drückt eine hinreichende Bedingung für etwas aus. Sie wurde anscheinend nicht von Aristoteles eingeführt, sondern etwas später um 300 v.Chr. von Diodoros Kronos und Philon von Megara.

Die Implikation A → B  –  "schon wenn A, dann B." – d.h. auch: wenn A falsch, dann ist B egal. A ist der Vordersatz oder Antezedens, B ist der Nachsatz, Sukzedenz oder Konsequenz.

Die Implikation wird definiert als  ¬ A oder B  bzw.  ¬ ( A und ¬ B ).
Der Junktor ist weder assoziativ noch kommunikativ, er ist aber reflexiv und transitiv.

Implikation in natürlicher Sprache ist die Folgerung, wie wir sie im Alltag und in der Wissenschaft handhaben. Sie unterscheidet sich ein wenig von der Implikation in der Aussagenlogik.

• http://de.wikipedia.org/wiki/Paradoxien_der_materialen_Implikation

In der Logik besteht keinerlei Zusammenhang zwischen einem logischen Term und einem evtl. Bedeutungsinhalt, was zu Paradoxien führt, wenn man logische Aussagen sprachlich interpretiert. Formale Logik ist eben ein formales System. Ein Kalkül arbeitet rein syntaktisch.

In der Sprache besteht ein inhaltlicher Zusammenhang. "weil A, deshalb B" meint normalerweise, dass B aus A folgt und dass A gilt. Das meint aber, wenn A = f, dann ist die Gesamtaussage auch falsch. Diese (Satzform) wäre also nur wahr, wenn A und B wahr sind, aber ein solcher Junktor bringt offenbar nichts.

Die Aussage  ¬ ( ¬ A  →  A )  ist intuitiv wahr, denn keine Aussage kann aus ihrer Verneinung folgen. In AL₂ ist sie jedoch für A = w falsch:  ¬ ( ¬ w  →  w )  =  ¬ ( w oder f )  =  ¬ w  =  f