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3. 2. 1  Klassische Aussagenlogik  AL2


Die klassische zweiwertige Aussagenlogik ist das, was jeder Programmierer kennt und was man im Mathe-Unterricht beim Beweisen von Sätzen benutzt. Sie ist ebenfalls die theoretische Grundlage von digitalen Schaltungen und Computerhardware. In der Aussagenlogik ist die kleinste logische Einheit die Aussage, welche ja sprachlich recht komplex sein kann. In der klassischen Logik unterscheidet man nur zwei Eigenschaften, die eine Aussage haben kann, die Wahrheitswerte wahr und falsch. Nicht beachtet werden dabei Unschärfe, Unvollständigkeit, Widersprüchlichkeit und Reflexivität.

Die klassische Aussagenlogik fiel nicht vom Himmel, die Idee der Formalisierung musste langsam wachsen. Doch bereits die Aristotelischen Axiome beinhalten alles, was man dazu braucht, Symbole, Zweiwertigkeit, Junktoren, Folgern.


AL2  =  ( { W, F }, { ¬, und, oder, → } )

Es gibt genügend öffentliche Lehrbücher über den Aufbau und die Gesetze der klassischen Aussagenlogik:





3. 2. 1. 1  Die Aristotelischen Axiome

3. 2. 1. 2  Logische Grund-Junktoren von AL2

3. 2. 1. 3  Der Implikations-Junktor






3. 2. 1. 1  Die Aristotelischen Axiome

Aristoteles[WP] (384 – 322 v.Chr., Athen und Makedonien) hat drei logische Axiome zusammengetragen, die die klassische zweiwertige Logik begründen. Er selber formalisierte dazu die Syllogistik, aus der sich erst viel später die nachfolgend beschriebene Aussagenlogik, aber auch die Prädikatenlogik, entwickelte.

(I)      Satz der Identität                                                   –  A  =  A
(II)     Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch    –  nicht: ( A = wahr  und  nicht-A = wahr )
(III)    Satz vom ausgeschlossenen Dritten               –  A = wahr  oder  nicht-A = wahr


Diese drei Sätze werden auch als Denkgesetze betrachtet und den Naturgesetzen gegenübergestellt. Daneben sind sie grundlegend für die Entwicklung auch der Naturwissenschaften.


(I)  Satz der Identität  –  A  =  A

Der Satz der Identität (lat.: principium identitatis) bzw. der Satz der Selbstidentität aller Dinge besagt lediglich, dass ein Ding nur mir sich selbst identisch ist. Alle anderen sind davon verschieden.

A ist identisch mit B bedeutet, dass es zwischen A und B keinen Unterschied gibt. Deshalb ist A nur mit sich selbst identisch.
Sind hier Gegenstände, die Aussagen oder ihre Wahrheitswerte gemeint ? Anscheinend alles drei ?
Leibnitz?: "A und B bezeichnen genau dann denselben Gegenstand, wenn sich A für B in allen Aussagen bei Erhaltung des Wahrheitswertes ersetzen lässt."

(II)  Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch  –  ¬ ( A = w  und  ¬ A = w )

Der Satz vom Widerspruch (lat.: principium contradictionis) bzw. der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch besagt, dass zwei einander widersprechende Aussagen nicht zugleich zutreffen können.

Es kann nicht gleichzeitig eine Aussage A und ihr Gegenteil ¬ A wahr sein.
In der Notation der Aussagenlogik ist das  ¬ ( A = w  und  ¬ A = w )
und wird verkürzt zu  ¬ ( A und ¬ A )

Dieses Axiom bezieht sich auf Aussagen. Es gilt offenbar für Aussagen, denen man problemlos einen Wahrheitswert zusprechen kann. Es ist offenbar eine Voraussetzung für das Denken über die Welt, scheint also ein ontologisches Axiom zu sein.

"Jeder Versuch, es zu beweisen bzw. zu widerlegen, würde ihn immer schon voraussetzen, weil jede Aussage bzw. jedes Argument ja sich und nicht sein Gegenteil vermitteln soll. ... Die analytische Wahrheit gründet letztlich im Satz vom Widerspruch (Ernst Tugendhat).[2]"

...


(III)  Satz vom ausgeschlossenen Dritten  –  A = w  oder  ¬ A = w

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (lat.: principium exclusi tertii bzw. tertium non datur) besagt, dass bei einer Aussage mindestens sie selbst oder ihr Gegenteil zutreffen muss.

Es muss entweder eine Aussage oder ihr Gegenteil wahr sein.
In der Notation der Aussagenlogik ist das  A = w  oder  ¬ A = w
und wird verkürzt zu  A oder ¬ A

Dieses Axiom bezieht sich auf Aussagen. Es gilt offenbar für Aussagen, denen man problemlos einen Wahrheitswert zusprechen kann. Es ist offenbar eine Voraussetzung für das Denken über die Welt, scheint also ein ontologisches Axiom zu sein.

Aber bereits Aristoteles selbst hat darauf hingewiesen, dass man Aussagen über die Zukunft keinen Wahrheitswert zuordnen kann, da der zugehörige Sachverhalt ja noch gar nicht eingetreten sein kann. Bsp.: "Deutschland wird wieder Weltmeister."
Außerdem gibt es reflexive Aussagen, denen man keinen Wahrheitswert eindeutig zuweisen kann. Bsp.: "Dieser Satz ist falsch." (eine Variante des Kreter-Paradoxons[WP])
Es gibt mathematische Aussagen über sinnvolle Begriffe, die aber logisch nicht entscheidbar sind ?? (Gödelsche Unvollständigkeit ?).
Dann gibt es noch sinnlose Aussagen, indem man Kategorienfehler begeht. Diesen kann man keinen Wahrheitswert eindeutig zuweisen. Echt nicht ?! Bsp.: Die Banane ist schnell. Die Geschwindigkeit ist gelb.

...


Konsequenz aus den Axiomen

Aus dem Satz (II) vom ausgeschlossenen Widerspruch und dem Satz (III) vom ausgeschlossenen Dritten folgt das Prinzip der Zweiwertigkeit bzw. Bivalenzprinzip. Es besagt, dass jeder Aussage genau einer von zwei Wahrheitswerten zugeordnet wird.

Deshalb ist die klassische Logik zweiwertig. Das Folgende ist der Gedanke von gerade in quasi-aussagenlogischer Notation:

(II)   ¬ ( A = w  und  ¬ A = w )
         dafür wird ein zweiter Wahrheitswert eingeführt:  ¬ A = w  <=>  A = f
=>     ¬ ( A = w  und  A = f )

(III)  A = w  oder  ¬ A = w

=>     A = w  oder  A = f

Die Wertemenge von AL2 ist also  { W, F }.



3. 2. 1. 2  Logische Grund-Junktoren von AL2

Aus den obigen Axiomen leiten wir uns die verschiedenen Konzepte der klassischen Logik und für ihre Junktoren ab. Dies wird kein formaler Aufbau von AL2, den kann man nachlesen, es geht um die theoretischen Prinzipien, die in den nachfolgenden Logiken variiert werden, um andere Szenarien zu beschreiben.


Konzepte von AL2

Aus den drei Aristotelischen Axiomen von oben kann man bereits alle Konzepte der formalen klassischen Aussagenlogik ablesen. Mit obigem Bivalenzprinzip ¬ A = w <=> A = f kann man den Inhalt der Axiome auch so schreiben.

(I)      A  =  A
(II)     ¬ ( A = w  und  A = f )
(III)    A = w  oder  A = f



Konzepte aus Axiom (I):

Konzepte aus Axiom (II):

Konzepte aus Axiom (III):

Zu den Junktoren

Junktoren[WB] in AL2 sind logische Junktoren zwischen Aussagen. Aufgrund der Zweiwertigkeit gibt es vier einstellige Junktoren, von denen die Negation der wichtigste ist. Enemso gibt es sechzehn zweistellige Junktoren, von denen Konjunktion und Adjunktion die intuitiv grundlegenden sind.

Die Negation NICHT / NOT / ¬ drückt das Gegenteil aus. Dies kann man in Tabellenform notieren, links stehen die Ausgangswerte, rechts die Ergbniswerte nach Anwendung des Junktors, des Operators bzw. der Funktion.

NICHT / ¬
WF
FW

Die Konjunktion UND / AND ist nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. A und B gilt, wenn A gilt und B gilt.

UNDWF
WWF
FFF

Das neutrale Element von UND ist W, d.h. die und-Verknüpfung mit W kann man sich auch schenken. Beim Rechnen kann ein solcher Term gestrichen werden. Das dominante Element von UND ist F, d.h. die Verknüpfung mit F bildet stets auf F ab.

Die Adjunktion ODER / OR ist nur dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. A oder B gilt, sobald A gilt oder B gilt.

ODERWF
WWW
FWF

Das neutrale Element von ODER ist F, d.h. die oder-Verknüpfung mit F kann man sich auch schenken. Beim Rechnen kann ein solcher Term gestrichen werden. Das dominante Element von ODER ist W, d.h. die Verknüpfung mit W bildet stets auf W ab.

Mit diesen drei Junktoren erhält man eine vollkommen symmetrische Struktur (vgl. [3.2.2 Boolesche Algebra]), was besonders in den De Morganschen Regeln zum Ausdruck kommt:

¬ ( A und B )   =  ¬ A  oder  ¬ B
¬ ( A oder B )  =  ¬ A  und  ¬ B

Die Distributivgesetze gelten ebenfalls. Hier werden die beiden Verknüpfungen UND und ODER kombiniert.

A  und  ( B oder C )  =  ( A und B )  oder  ( A und C )
A  oder  ( B und C )  =  ( A oder B )  und  ( A oder C )


Eine Menge von Junktoren ist funktional vollständig, wenn alle anderen möglichen Junktoren aus ihnen dargestellt werden können. Das bedeutet, man kann mit ihnen "alles machen".
{ ¬, und } und { ¬, oder } sind beispielsweise jeweils funktional vollständig. Es gibt sogar zwei Junktoren, die alleine bereits funktional vollständig sind, NAND ("nicht beides") und das NOR ("weder noch"), was für digitale Schaltungen und Mikroprozessoren wichtig ist.

NAND genügt demnach bereits als einziger Junktor und alle anderen lassen sich auf ihn zurückführen:

A nand B  :=  ¬ (A und B)

1)  ¬ A           =  ¬ (A und A)  =  A nand A
2)  A und B   =  ¬ ¬ (A und B)  =  ¬ (A nand B)  =  (A nand B) nand (A nand B)
3)  A oder B  =  ¬ ( ¬ A  und  ¬ B )  =  ¬ ( (A nand A)  und  (B nand B) )  =  (A nand A) nand  (B nand B)

Desweiteren sind innerhalb der Aussagenlogik die obigen Aristotelischen Axiome (II) und (III) wegen den De Morganschen Regeln äquivalent:

(II) :  ¬ ( A  und  ¬ A )  =  ¬ A  oder  ¬ ¬ A  =  ¬ A  oder  A  =  A  oder  ¬ A  : (III)



3. 2. 1. 3  Der Implikations-Junktor

Die Implikation[WP]  A → B  wird in der Aussagenlogik als materiale Implikation bzw. Konditional bzw. Subjunktion[WP] realisiert. Sie drückt eine hinreichende Bedingung für etwas aus. Sie wurde anscheinend nicht von Aristoteles eingeführt, sondern etwas später um 300 v.Chr. von Diodoros Kronos und Philon von Megara.

WF
WWF
FWW


Implikation in der Aussagenlogik

Die Implikation A → B  –  "schon wenn A, dann B." – d.h. auch: wenn A falsch, dann ist B egal. A ist der Vordersatz oder Antezedens, B ist der Nachsatz, Sukzedenz oder Konsequenz.

Die Implikation wird definiert als  ¬ A oder B  bzw.  ¬ ( A und ¬ B ).
Der Junktor ist weder assoziativ noch kommunikativ, er ist aber reflexiv und transitiv.

Daraus ergibt sich der Umkehrschluss bzw. die Kontraposition:
A  →  B   =   ¬ B  →  ¬ A
B ist deshalb nur eine notwendige Bedingung für A, keine hinreichende. (Das wird z.B. in BWL-Vorlesungen oder Esoterik-Argumentationen gerne mal übersehen.)


Implikation in natürlicher Sprache

Implikation in natürlicher Sprache ist die Folgerung, wie wir sie im Alltag und in der Wissenschaft handhaben. Sie unterscheidet sich ein wenig von der Implikation in der Aussagenlogik.
In der Logik besteht keinerlei Zusammenhang zwischen einem logischen Term und einem evtl. Bedeutungsinhalt, was zu Paradoxien führt, wenn man logische Aussagen sprachlich interpretiert. Formale Logik ist eben ein formales System. Ein Kalkül arbeitet rein syntaktisch.

In der Sprache besteht ein inhaltlicher Zusammenhang. "weil A, deshalb B" meint normalerweise, dass B aus A folgt und dass A gilt. Das meint aber, wenn A = f, dann ist die Gesamtaussage auch falsch. Diese (Satzform) wäre also nur wahr, wenn A und B wahr sind, aber ein solcher Junktor bringt offenbar nichts.

Die Aussage  ¬ ( ¬ A  →  A )  ist intuitiv wahr, denn keine Aussage kann aus ihrer Verneinung folgen. In AL2 ist sie jedoch für A = w falsch¬ ( ¬ w  →  w )  =  ¬ ( w oder f )  =  ¬ w  =  f




Erstmals kreiert am – Sonntag, 20. Februar 2005
Letzrmals geändert am – Dienstag, 07. Januar 2020
Autor: Korgüll


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