Up !
Illner Solutions
3. 2. 1 Klassische Aussagenlogik AL2
Die
klassische zweiwertige Aussagenlogik ist das, was jeder Programmierer
kennt und was man im Mathe-Unterricht beim Beweisen von Sätzen benutzt.
Sie ist ebenfalls die theoretische Grundlage von digitalen Schaltungen
und Computerhardware. In der Aussagenlogik ist die kleinste logische
Einheit die Aussage, welche ja sprachlich recht komplex sein kann. In
der klassischen Logik unterscheidet man nur zwei Eigenschaften, die
eine Aussage haben kann, die Wahrheitswerte wahr und falsch. Nicht
beachtet werden dabei Unschärfe, Unvollständigkeit, Widersprüchlichkeit
und Reflexivität.
Die
klassische Aussagenlogik fiel nicht vom Himmel, die Idee der
Formalisierung musste langsam wachsen. Doch bereits die Aristotelischen Axiome
beinhalten alles, was man dazu braucht, Symbole, Zweiwertigkeit, Junktoren,
Folgern.
AL2 = ( { W, F }, { ¬, und, oder, → } )
Es gibt genügend öffentliche Lehrbücher über den Aufbau und die Gesetze der klassischen Aussagenlogik:
3. 2. 1. 1 Die Aristotelischen Axiome
Aristoteles[WP]
(384 – 322 v.Chr., Athen und Makedonien) hat drei logische Axiome
zusammengetragen, die die klassische zweiwertige Logik begründen. Er
selber formalisierte dazu die
Syllogistik, aus der sich erst viel später die nachfolgend
beschriebene
Aussagenlogik, aber auch die
Prädikatenlogik, entwickelte.
(I)
Satz der
Identität
–
A = A
(II) Satz vom
ausgeschlossenen Widerspruch – nicht: ( A =
wahr und nicht-A = wahr )
(III) Satz
vom ausgeschlossenen
Dritten
– A = wahr oder nicht-A = wahr
Diese
drei Sätze werden auch als Denkgesetze betrachtet und den Naturgesetzen
gegenübergestellt. Daneben sind sie grundlegend für die Entwicklung
auch der Naturwissenschaften.
(I) Satz der Identität – A = A
Der Satz der Identität (lat.: principium identitatis) bzw. der Satz der Selbstidentität aller Dinge besagt lediglich, dass ein Ding nur mir sich selbst identisch ist. Alle anderen sind davon verschieden.
A ist identisch mit B bedeutet, dass es zwischen A und B keinen Unterschied gibt. Deshalb ist A nur mit sich selbst identisch.
Sind hier Gegenstände, die Aussagen oder ihre Wahrheitswerte gemeint ? Anscheinend alles drei ?
Leibnitz?: "A
und B bezeichnen genau dann denselben Gegenstand, wenn sich A für B in
allen Aussagen bei Erhaltung des Wahrheitswertes ersetzen lässt."
(II) Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch – ¬ ( A = w und ¬ A = w )
Der
Satz vom Widerspruch (lat.:
principium contradictionis) bzw. der Satz vom
ausgeschlossenen Widerspruch besagt, dass zwei einander widersprechende Aussagen nicht zugleich zutreffen können.
Es kann nicht gleichzeitig eine Aussage A und ihr Gegenteil ¬ A wahr sein.
In der Notation der Aussagenlogik ist das ¬ ( A = w und ¬ A = w )
und wird verkürzt zu ¬ ( A und ¬ A )
Dieses
Axiom bezieht sich auf Aussagen. Es gilt offenbar für Aussagen, denen
man problemlos einen Wahrheitswert zusprechen kann. Es ist offenbar
eine Voraussetzung für das Denken über die Welt, scheint also ein
ontologisches Axiom zu sein.
"Jeder Versuch, es zu beweisen bzw. zu widerlegen, würde ihn immer
schon voraussetzen, weil jede Aussage bzw. jedes Argument ja sich und
nicht sein Gegenteil vermitteln soll. ... Die
analytische Wahrheit
gründet letztlich im Satz vom Widerspruch (
Ernst Tugendhat).
[2]"
...
(III) Satz vom ausgeschlossenen Dritten – A = w oder ¬ A = w
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (lat.: principium exclusi tertii bzw. tertium non datur) besagt, dass bei einer Aussage mindestens sie selbst oder ihr Gegenteil zutreffen muss.
Es muss entweder eine Aussage oder ihr Gegenteil wahr sein.
In der Notation der Aussagenlogik ist das A = w oder ¬ A = w
und wird verkürzt zu A oder ¬ A
Dieses
Axiom bezieht sich auf Aussagen. Es gilt offenbar für Aussagen, denen
man problemlos einen Wahrheitswert zusprechen kann. Es ist offenbar
eine Voraussetzung für das Denken über die Welt, scheint also ein
ontologisches Axiom zu sein.
Aber bereits Aristoteles selbst hat darauf hingewiesen, dass man Aussagen über die Zukunft
keinen Wahrheitswert zuordnen kann, da der zugehörige Sachverhalt ja
noch gar nicht eingetreten sein kann. Bsp.: "Deutschland wird wieder
Weltmeister."
Außerdem gibt es reflexive
Aussagen, denen man keinen Wahrheitswert eindeutig zuweisen kann. Bsp.:
"Dieser Satz ist falsch." (eine Variante des Kreter-Paradoxons[WP])
Es gibt mathematische Aussagen über sinnvolle Begriffe, die aber logisch nicht entscheidbar sind ?? (Gödelsche Unvollständigkeit ?).
Dann gibt es noch sinnlose Aussagen, indem man Kategorienfehler
begeht. Diesen kann man keinen Wahrheitswert eindeutig zuweisen. Echt
nicht ?! Bsp.: Die Banane ist schnell. Die Geschwindigkeit ist gelb.
...
Konsequenz aus den Axiomen
Aus
dem Satz (II) vom ausgeschlossenen Widerspruch und dem Satz (III) vom
ausgeschlossenen Dritten folgt das Prinzip der Zweiwertigkeit bzw.
Bivalenzprinzip. Es besagt, dass jeder Aussage genau einer von zwei
Wahrheitswerten zugeordnet wird.
Deshalb ist die klassische Logik zweiwertig. Das Folgende ist der Gedanke von gerade in quasi-aussagenlogischer Notation:
(II) ¬ ( A = w und ¬ A = w )
dafür wird ein zweiter Wahrheitswert eingeführt: ¬ A = w
<=> A = f
=> ¬ ( A = w und A = f )
(III) A = w oder ¬ A = w
=> A = w oder A = f
Die Wertemenge von
AL2 ist also
{ W, F }.
3. 2. 1. 2 Logische Grund-Junktoren von AL2
Aus
den obigen Axiomen leiten wir uns die verschiedenen Konzepte der
klassischen Logik und für ihre Junktoren ab. Dies wird kein formaler
Aufbau von AL2, den kann man nachlesen, es geht um die theoretischen
Prinzipien, die in den nachfolgenden Logiken variiert werden, um andere
Szenarien zu beschreiben.
Konzepte von AL2
Aus
den drei Aristotelischen Axiomen von oben kann man bereits alle Konzepte der
formalen klassischen Aussagenlogik ablesen. Mit obigem Bivalenzprinzip
¬ A = w <=> A = f kann man den Inhalt der Axiome auch so
schreiben.
(I) A = A
(II) ¬ ( A = w und A = f )
(III) A = w oder A = f
Konzepte aus Axiom (I):- Symbole: Die zu behandelnden Aussagen bzw. Propositionen werden in formaler Logik durch Symbole (A1, A2, …) dargestellt bzw. bezeichnet. So kommt es auch zur Trennung von Objektsprache (den Symbolen, inklusive Junktoren, Klammern etc.) und Metasprache (wenn man über die Symbole schreibt oder redet).
- Logischer Wert:
Durch das "=" wird ein logischer Wert (ein Wahrheitswert) eingeführt,
der ein Identitäts-Kriterium erfüllt. In (I) ist A natürlich nicht das
gleiche wie w, aber die Aussage A hat einen Wert, von dem behauptet
wird, dass er z.B. w ist.
Konzepte aus Axiom (II):- Wenn ... werden ...(?) Die beiden logischen Werte w und f werden hier explizit angegeben.
- Es werden weitere Aussagen eingeführt, derart, dass etwa A = f wieder eine Aussage mit einem logischen Wert ist.
- Junktoren: Es werden logische Junktoren eingeführt, die Werte auf Werte abbilden.
- Die
Junktoren nicht und und bilden zunächst einen einzigen Junktor nand
("nicht beides"), der erst in einem zweiten Denkschritt in den
einstelligen und den zweistelligen aufgeteilt wird.
Konzepte aus Axiom (III):- Der Junktor oder bringt nichts wirklich Neues, da er ebenfalls durch den und- und den nicht-Junktor darstellbar ist (s.u.).
Zu den Junktoren
Junktoren[WB]
in
AL2 sind logische Junktoren zwischen Aussagen. Aufgrund der Zweiwertigkeit
gibt es vier einstellige Junktoren, von denen die
Negation der
wichtigste ist. Enemso gibt es sechzehn zweistellige Junktoren, von
denen
Konjunktion und
Adjunktion die intuitiv grundlegenden sind.
Die
Negation
NICHT / NOT / ¬ drückt das Gegenteil aus. Dies kann man in
Tabellenform notieren, links stehen die Ausgangswerte, rechts die
Ergbniswerte nach Anwendung des Junktors, des Operators bzw. der
Funktion.
Die Konjunktion UND / AND ist nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. A und B gilt, wenn A gilt und B gilt.
Das neutrale Element
von UND ist W, d.h. die und-Verknüpfung mit W kann man sich auch schenken.
Beim Rechnen kann ein solcher Term gestrichen werden. Das dominante Element von UND ist F, d.h. die Verknüpfung mit F bildet stets auf F ab.
Die Adjunktion ODER / OR ist nur dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. A oder B gilt, sobald A gilt oder B gilt.
Das
neutrale Element
von ODER ist F, d.h. die oder-Verknüpfung mit F kann man sich auch schenken.
Beim Rechnen kann ein solcher Term gestrichen werden. Das
dominante
Element von ODER ist W, d.h. die Verknüpfung mit W bildet stets auf W
ab.
Mit
diesen drei Junktoren erhält man eine vollkommen symmetrische Struktur
(vgl. [
3.2.2 Boolesche Algebra]), was besonders in den
De Morganschen Regeln zum Ausdruck kommt:
¬ ( A und B ) = ¬ A oder ¬ B
¬ ( A oder B ) = ¬ A und ¬ B
Die
Distributivgesetze gelten ebenfalls. Hier werden die beiden Verknüpfungen UND und ODER kombiniert.
A und ( B oder C ) = ( A und B ) oder ( A und C )
A oder ( B und C ) = ( A oder B ) und ( A oder C )
Eine Menge von Junktoren ist funktional vollständig, wenn alle anderen möglichen Junktoren aus ihnen dargestellt werden können. Das bedeutet, man kann mit ihnen "alles machen".
{
¬, und } und { ¬, oder } sind beispielsweise jeweils funktional
vollständig. Es gibt sogar zwei Junktoren, die alleine bereits
funktional vollständig sind, NAND ("nicht beides") und das NOR ("weder noch"), was für digitale Schaltungen
und Mikroprozessoren wichtig ist.
NAND genügt demnach bereits als einziger Junktor und alle anderen lassen sich auf ihn zurückführen:
A nand B := ¬ (A und B)
1) ¬ A = ¬ (A und A) = A nand A
2) A und B = ¬ ¬ (A und B) = ¬ (A nand B) = (A nand B) nand (A nand B)
3)
A oder B = ¬ ( ¬ A und ¬ B ) = ¬ (
(A nand A) und (B nand B) ) = (A nand A)
nand (B nand B)
Desweiteren sind innerhalb der
Aussagenlogik die obigen Aristotelischen Axiome (II) und (III) wegen
den De Morganschen Regeln äquivalent:
(II) : ¬ ( A
und ¬ A ) = ¬ A oder ¬ ¬ A =
¬ A oder A = A oder ¬ A :
(III)
3. 2. 1. 3 Der Implikations-Junktor
Die
Implikation[WP] A → B wird in der Aussagenlogik als
materiale Implikation bzw.
Konditional bzw.
Subjunktion[WP] realisiert. Sie drückt eine
hinreichende Bedingung für etwas aus. Sie wurde anscheinend nicht von
Aristoteles eingeführt, sondern etwas später um 300 v.Chr. von
Diodoros Kronos und
Philon von Megara.
Implikation in der Aussagenlogik
Die
Implikation A → B – "schon wenn A, dann B." – d.h. auch: wenn A
falsch, dann ist B egal. A ist der Vordersatz oder Antezedens, B ist
der Nachsatz, Sukzedenz oder Konsequenz.
Die Implikation wird definiert als ¬ A oder B bzw. ¬ ( A und ¬ B ).
Der Junktor ist weder assoziativ noch kommunikativ, er ist aber reflexiv und transitiv.
Daraus ergibt sich der
Umkehrschluss bzw. die
Kontraposition:
A → B = ¬ B → ¬ A
B
ist deshalb nur eine notwendige Bedingung für A, keine hinreichende.
(Das wird z.B. in BWL-Vorlesungen oder Esoterik-Argumentationen gerne
mal übersehen.)
Implikation in natürlicher Sprache
Implikation
in natürlicher Sprache ist die Folgerung, wie wir sie im Alltag und in
der Wissenschaft handhaben. Sie unterscheidet sich ein wenig von der
Implikation in der Aussagenlogik.
In
der
Logik besteht keinerlei Zusammenhang zwischen einem logischen Term und einem evtl. Bedeutungsinhalt, was zu
Paradoxien führt, wenn man logische Aussagen sprachlich interpretiert.
Formale Logik ist eben ein formales System. Ein Kalkül arbeitet rein
syntaktisch.
In der
Sprache besteht ein inhaltlicher Zusammenhang. "weil A, deshalb B" meint
normalerweise, dass B aus A folgt
und dass A gilt. Das meint aber,
wenn A = f, dann ist die Gesamtaussage auch falsch. Diese (Satzform)
wäre also nur wahr, wenn A und B wahr sind, aber ein solcher Junktor bringt offenbar
nichts.
Die Aussage
¬ ( ¬ A → A ) ist intuitiv
wahr, denn keine Aussage kann aus ihrer Verneinung folgen. In AL
2 ist sie
jedoch für A = w
falsch:
¬ ( ¬ w → w ) =
¬ ( w oder f ) = ¬ w = f
Erstmals kreiert am – Sonntag, 20. Februar 2005
Letzrmals geändert am – Dienstag, 07. Januar 2020
Autor: Korgüll
Copyright 2005 – 2020 Illner Solutions