Die
Algebra, Teilgebiet der Mathematik, konstruiert aus Mengen
Strukturen, indem sie diese mit inneren
Verknüpfungen versieht, z.B. Rechenoperationen bei Zahlenmengen. Eine
boolesche Algebra[WP] ist ein
komplementärer distributiver Verband. Die Anzahl der Elemente ist nicht festgelegt. Sie
wurde ab dem 19. Jh. von Nachfolgern
George Booles ausgearbeitet.
Sie stellt eine allgemeinere Formulierung der klassischen Aussagenlogik
AL2 dar. Sie umfasst außerdem die einfache
Mengenlehre.
Eine boolesche Algebra besteht zunächst aus einer Menge an Elementen, mit denen etwas gemacht werden soll, der
Trägermenge. Man kann zeigen, dass die Trägermengen die
Mächtigkeit 2^n haben müssen.
=> Mögliche Mächtigkeiten: 1, 2, 4, 8, ...
Der Spezialfall mit zwei Elementen ist die bekannte
Schaltalgebra, welche isomorph zur Aussagenlogik
AL2 ist.
Zurück zur Algebra, eine boolesche Algebra ist also ein
komplementärer distributiver Verband. Ein
Verband hat zwei Verknüpfungen, die ein Minimum und ein Maximum in der Trägermenge bestimmen.
Distributiv meint zusätzlich, man kann mit den Verknüpfungen Klammern ausmultiplizieren.
Komplementär
bedeutet, die Elemente haben zwar keine Inversen, aber sog. Komplemente
über die beiden Verknüpfungen hinweg. Die beiden Verknüpfungen sind
also verzahnt.
Eine
Menge
B wird zu einem
komplementären distributiven Verband bzw. einer
booleschen Algebra, wenn man
zwei Operatoren (Verknüpfungen) mit bestimmten Eigenschaften definiert.
(B, +, 0, *, 1) ist ein
komplementärer distributiver Verband, gdw.
1)
(B, +, *) ist ein
Verband.
1.1) (B, +) ist eine kommutative Halbgruppe.
– (B, +) ist abgeschlossen, assoziativ (Reihenfolge egal) und kommutativ (symmetrisch).
1.2) (B, *) ist eine kommutative Halbgruppe.
– (B, *) ist abgeschlossen, assoziativ (Reihenfolge egal) und kommutativ (symmetrisch).
1.3) Bei (B, +, *) gelten die Absorptionsgesetze.
- dann auch Idempotenzgesetze ?
– ..., vollständig, kompakt, beschränkt ?
2)
(B, +, *) ist
distributiv.
– Wechselwirkung bzgl. Ausmultiplizieren.
3)
(B, +, 0, *, 1) ist
komplementär. (Es reicht nicht zu den
Inversen, dann wäre B ein
Körper wie die Zahlen Q und R.)
3.1) (B, +, *) ist beschränkt.
– Es gibt Nullelement und Einselement: je ein neutrales Element, das mit der Partner-Operation absorbierend ist.
– Ein endlicher (nichtleerer) Verband ist immer vollständig und somit auch beschränkt.
3.2) zu jedem Element gibt es (mindestens) ein Komplement.
– ergibt einmal 0 und einmal 1.
=>
In einem distributiven komplementären Verband gibt es immer genau ein
Komplement a-quer. (Aus dem Komplement wird der Nicht-Operator von AL2 kontruiert).
Die obigen Eigenschaften lassen sich für die Praxis reduzieren auf das Axiomensystem der booleschen Algebra nach Huntington: